שיעור 19: דוגמאות אינן הוכחה

פרק 5 – הוכחה תקינה או שגויה

1נוסח השאלה

2סעיף א – ארבעה איברים

3סעיף ב – האם דני צודק?

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי סדרות: a₁ = 2, a_{n + 1} = 2a_n וגם b₁ = 2, b_{n + 1} = b_n + 2n.

א. חשבו את ארבעת האיברים הראשונים בכל סדרה.

ב. דני אמר: "שלושת האיברים הראשונים שווים, ולכן a_n = b_n לכל n טבעי". האם דני צודק? נמקו.

סעיף א – ארבעה איברים

בסדרה a_n כל איבר כפול מקודמו:

📐 כלל הנסיגה

a₁ = 2, a₂ = 4, a₃ = 8, a₄ = 16

בסדרה b_n מוסיפים 2n:

📐 כלל הנסיגה

b₂ = b₁ + 2 · 1 = 4

b₃ = b₂ + 2 · 2 = 8

b₄ = b₃ + 2 · 3 = 14

✅ פתרון סופי: 2, 4, 8, 16 וגם 2, 4, 8, 14

📐 כלל הנסיגה

a_{n + 1} = 2a_n

📐 כלל הנסיגה

b_{n + 1} = b_n + 2n

סעיף ב – האם דני צודק?

a₄ = 16 ≠ 14 = b₄

דני לא צודק. בדיקה של כמה מקרים (גם הרבה מקרים) אינה הוכחה. כדי להוכיח טענה לכל n צריך גם בסיס וגם צעד – ואת שלב הצעד כאן אי אפשר להוכיח, כי כבר a₄ ≠ b₄.

✅ פתרון סופי: לא, כי a₄ ≠ b₄

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא